El papel de la Matemática
en la Economía Moderna
1. El
Método Matemático
2. Resumen
del desarrollo histórico de economía matemática
3. Teoría
del equilibrio general
4. Cómputo
del equilibrio económico
5. Referencias
bibliográficas
1.
El Método Matemático
Por alguna extraña
razón, los economistas siempre han considerado que discusiones
sobre la metodología de nuestra ciencia son poco fructíferas.
El creador de
la escuela austríaca, Carl Menger (1840-1921), afirmó
que "Los resultados científicos más importantes
han sido alcanzados por hombres que no estaban interesados en problemas
metodológicos" (C. Menger, 1924).
Dennis H.
Robertson, comienza su discusión sobre la teoría
del interés Keynesiana diciendo "comenzaré con
unas pocas palabras sobre la materia desagradable de metodología"
(Robertson, 1940, citado por Koopmans, 1957).
Roy F. Harrod,
en su ensayo metodológico de 1938, explica que el tema usualmente
aburre, en especial porque el metodólogo "...critica
la tarea de los demás que, cualquiera sea su valor, al menos
trata de ser constructiva; se establece a sí mismo como el
intérprete definitivo del pasado y el dictador de esfuerzos
futuros" (Harrod, 1938).
A pesar de estar
apreciaciones negativas he decidido correr el riesgo de presentarles,
a modo de introducción, algunas consideraciones sobre el
método matemático en economía.
Desde los primeros
balbuceos de Giovanni Ceva, quien en 1711 intentara presentar
la teoría de la moneda en términos geométricos,
y afirmaba que "para comprender los principios de las cosas
debemos construir modelos racionales por medio de supuestos... y
la manera correcta de tratar dichos modelos es por medio de las
matemáticas (Schumpeter, 1954, pág. 301), hasta nuestros
días la utilización de la matemática en el
razonamiento económico ha sufrido enormes transformaciones.
Es evidente
que, de acuerdo con las palabras del eminente economista Leonid
Hurwicz (Hurwicz, 1963), "economía matemática
ha 'arribado', a juzgar por el número de publicaciones técnicas,
volumen de las contribuciones científicas, cursos ofrecidos,
y concurrencia de alumnos". Si bien para el especialista son
suficientes observaciones casuales para arribar a esta conclusión,
se puede agregar la evidencia estadística de George Stigler,
quien en sus "Estudios Estadísticos sobre la Historia
del Pensamiento Económico" analiza la distribución
porcentual de los temas de artículos económicos publicados
en los Estados Unidos. "Hacia fines del siglo pasado sólo
un artículo de cada veinte usaba gráficos o álgebra
simple; al principio de la década de 1960 sólo a uno
de cada tres artículos le basta el lenguaje de las palabras.
Si la tendencia sigue, hacia el año 2000 nuestra ciencia
se habrá convertido en matemática simplemente porque
los editores de las revistas especializadas no sabrán leer
un trabajo no matemático..." (Stigler, 1964).
He referido
en otra ocasión la reacción escandalizada de Sir
Roy Harrod a la identificación que Lionel McKenzie
hacía entre economía matemática y teoría
económica (Mantel, 1984).
Sin embargo,
si bien hay mucho lugar para tratar temas económicos sin
usar matemática, el uso corriente en nuestra ciencia nos
lleva a trabajar cada vez más desde el punto de vista matemático.
La historia
no fue siempre de éxito. Si nos remontamos a escritos previos
al último medio siglo, encontraremos quejas, a veces amargas,
como las siguientes.
En 1844, leemos
de Jules Dupuit sobre ". . . el anatema que los economistas
de todos los tiempos han pronunciado contra (las ventajas de una
alianza con la matemática)" (Dupuit, 1844).
León
Walras en el prefacio a la cuarta edición de sus Elementos
de "Economía Política Pura o Teoría
de la Riqueza Social" en el año 1900 expresaba "En
cuanto a aquellos economistas que no saben matemática, que
ni siquiera saben qué significa la matemática y que
a pesar de ello han tomado la posición de que la matemática
no puede servir para elucidar principios económicos, dejadlos
ir repitiendo que "la libertad humana jamás permitirá
ser volcada a ecuaciones" o que "la matemática
ignora las fricciones que lo son todo en la ciencia social"
y otras frases de igual fuerza y ampulosidad. Ellos nunca podrán
evitar que la teoría de la determinación de los precios
bajo competencia libre se convierta en una teoría matemática.
Por lo tanto, ellos siempre deberán encarar la alternativa
o bien de mantenerse alejados de esta disciplina y en consecuencia
elaborar una teoría de economía aplicada sin recurrir
a una teoría de economía pura, o bien atacar los problemas
de economía pura sin el equipamiento necesario, y con ello
producir no sólo una muy mala economía pura sino también
una muy mala matemática" (Walras, 1900).
John Maynard
Keynes en su "Teoría General", editada
en 1936, describía así el estado en nuestro campo:
"Una proporción demasiado elevada de economía
"matemática" (entre comillas en el original) reciente
ha sido meramente fraguada, tan imprecisa como los supuestos iniciales
sobre los que se basa, que permite a los autores perder de vista
las complejidades e interdependencias del mundo real en un laberinto
de símbolos pretensiosos e inútiles" (Keynes,
1936). Como autor de un importante tratado sobre probabilidades
poco se puede dudar de sus conocimientos sobre matemática.
Si bien la observación
de Keynes pudo haber sido correcta hace medio siglo, hoy la situación
es distinta. En el presente las dudas sobre el método matemático
se deben a una interpretación errónea.
El error de
apreciación de cuál es el papel de la matemática
en economía no proviene solamente del campo de los no versados
en matemática, ya que aún los economistas matemáticos
de otras épocas tenían una concepción fundamentalmente
distinta a la actual. Por ejemplo Jevons, en su "Teoría
de Economía Política" publicada en 1871 afirmaba
"A mi me parece que nuestra ciencia debe ser matemática,
simplemente porque trata con cantidades" (citado por Roll,
1956).
De acuerdo con
Hurwicz, esta inclinación hacia igualar matemática
con los fenómenos cuantitativos o numéricos es muy
fuerte. Pero hacer matemática no es lo mismo que emplear
el método matemático, como muy bien distinguiera Irving
Fisher (Hurwicz, 1963). La característica más
notable de dicho método es quizá el uso de símbolos;
pero es innegable que no son necesarios para la aplicación
del método, como lo demuestra el caso de Marshall,
quien según Manuel de Torres (1954) hacía matemática
sin símbolos.
Hacer matemática
tampoco es hacer cuentas. Una rápida revisión de las
aplicaciones de la matemática que se han hecho a la economía
permite ver que no es justamente el carácter numérico
o medible de los fenómenos económicos el que más
ha atraído la atención de los economistas teóricos.
Si bien no es negligible este aspecto, como lo atestigua la enorme
cantidad de trabajos econométricos que emplean los resultados
de la estadística matemática, basta con mirar el índice
de una obra como el Manual de Economía Matemática
recientemente compilado por Kenneth J. Arrow y Michael Intriligator
(1981, 1982) para conocer los demás instrumentos empleados.
Se hace referencia allí a topología, teoría
de los conjuntos, convexidad, programación matemática,
álgebra lineal, sistemas dinámicos, teoría
del control óptimo determinista y estocástico, teorías
de la medida, teoría de la probabilidad, juegos de estrategia,
y análisis global. Cualquier persona medianamente versada
en estos temas reconocerá de inmediato que el cálculo
numérico no juega aquí un papel preponderante.
Esta lista nos
muestra en qué dirección se han desarrollado las herramientas
matemáticas más utilizadas en la economía contemporánea.
Según Koopmans ". . . quizá las herramientas
matemáticas más antiguas en economía son el
ejemplo numérico y el diagrama" (Koopmans, 1957). El
ejemplo numérico con el tiempo fue destituido al rol de herramienta
expositoria. El diagrama es de apreciación más sencilla
por lo que tienta a su empleo; pero el ojo humano no razona, y por
ello es fácil introducir supuestos ocultos mediante su empleo.
Además nos limita en cuanto a los problemas que se pueden
analizar por no permitir la representación de más
de dos o tres variables.
En los últimos
cuarenta años se ha ampliado el horizonte matemático
del economista. Se ha abandonado el énfasis sobre el cálculo
diferencial por ser miope en su papel de indicador de posiciones
de óptimo, además de requerir la existencia de derivadas
de funciones de utilidad y de producción no siempre justificables
desde el punto de vista económico.
Todo esto nos
mueve en la dirección de matemática más fundamental.
Hoy en día el economista medio requiere un conocimiento,
aunque sea a un nivel elemental, de la teoría de conjuntos,
de relaciones, del campo de números reales, de funciones,
de cálculo diferencial e integral, de probabilidades, de
espacios lineales y álgebra matricial y de algunos resultados
de topología combinatoria y topología general.
Un tema separado
es la enorme influencia del progreso tecnológico en el campo
de la computación debido al fantástico avance del
conocimiento en el campo de la electrónica. Los modernos
equipos permiten realizar cálculos en una escala no soñada
hace apenas treinta años. Es sorprandente que también
aquí aparece asociado el nombre de John von Neumann,
el matemático que como duende benéfico tantas veces
se asoma a nuestra ciencia, como se verá un poco más
tarde. Fue su genial concepción de la computadora que mantiene
sus propias instrucciones en su memoria junto con los datos sobre
los que debe operar la que subyace a todas las máquinas de
hoy en día, con su facilidad de ejecutar millones de operaciones
por segundo, actualizando no sólo la información sino
tomando decisiones y alterando sus propios programas de instrucciones.
Es interesante
hacer notar que los economistas ya desde los albores de nuestra
ciencia estaban preocupados por la computación. Se considera
como "padre espiritual" de las calculadores automáticas
modernas a Charles Babbage, quien regenteó la cátedra
de matemática de la universidad de Cambridge a mediados del
pasado siglo, y fuera economista de nota (Schumpeter, 1954, pág.
541 nota 1). "Hacia el año 1835 lanzó el concepto
de una "máquina analítica", como él
decía, en la que se anticipaban algunos de los caracteres
esenciales de construcción que encontramos realizados en
los autómatas modernos. ...Resulta penoso que Babbage naciera
con un siglo de anticipación ...la construcción de
la máquina de acuerdo con sus planes resultó un completo
fracaso. Por aquel tiempo era imposible técnicamente la construcción
de un dispositivo mecánico dotado de la precisión
adecuada" (Gerwin, 1967, pág. 100).
No sólo
es posible en la actualidad diseñar ejemplos numéricos
más elaborados que en el pasado para resolver de manera experimental
problemas demasiado complejos para su solución analítica,
o simular la respuesta de un modelo del sistema económico
a modificaciones en los niveles de los instrumentos de política
económica con fines de controlarlo antes de ejecutar costosos
experimentos con la economía de un país. También
es viable utilizar técnicas estadísticas y econométricas
más elaboradas que en el pasado para la estimación
de modelos de la economía, tanto para fines explicativos
como para fines predictivos. El investigador tiene hoy al alcance
de su mano, no más lejos que su biblioteca de programas,
los medios para efectuar análisis que hasta pocas décadas
eran inimaginables. Gracias a los adelantos en los medios de comunicación,
también basados en la electrónica, tiene además
la posibilidad de acceder a una enorme masa de información
económica, permanentemente actualizada. Lamentablemente estos
adelantos aún no se hacen sentir mayormente en nuestro país
debido a las restricciones al intercambio comercial y, en consecuencia,
cultural a que son tan proclives nuestros gobiernos.
En la portada
de su libro "Fundamentos del Análisis Económico",
Paul A. Samuelson - premio Nobel, uno de los más prolíficos
y exitosos escritores de la economía - reprodujo el lema
del gran físico de la Universidad de Yale Willard Gibbs:
"La matemática es un lenguaje" (Samuelson, 1947).
Sin embargo, como lo demuestra incluso el mismo Samuelson en sus
publicaciones, "...la matemática es mucho más
que sólo un lenguaje. La matemática es también
un poderoso instrumento para la solución de algunos problemas
centrales de economía" (Hurwicz, 1963).
Este último
argumento ya fue presentado por Jules Dupuit al escribir
sobre la medición de la utilidad de las obras públicas
en 1844, cuando afirmaba que "En cuanto uno se percata junto
con J. B. Say que economía política se refiere a cantidades
susceptibles de un más o un menos, también debe ser
reconocido que está en el dominio de la matemática.
...No sólo nos dan los símbolos y los gráficos
de la matemática cuerpo y forma a ideas abstractas, llamando
con ello a los sentidos a colaborar con el poder intelectual del
hombre, sino sus fórmulas se hacen cargo de dichas ideas,
las modifican, las transforman, y traen a la luz todo lo que es
verdadero, correcto y preciso en ellas sin forzar la mente a seguir
todos los movimientos de una maquinaria cuyo curso, en cierta etapa,
puede pensar por nosotros, y hay tanta ventaja en utilizarlas como
hay en usar aquéllas que, en la industria, trabajan por nosotros"
(Dupuit, 1844). Este párrafo, según Schumpeter,
es el primer argumento y quizá uno de los mejores en su brevedad,
en favor del método matemático (Schumpeter, 1954,
pág. 957, nota 7).
El mismo Schumpeter
nos dice que "...hay ventajas en (construir) un instrumento
compuesto o máquina o sistema de análisis económico...
que funcione formalmente de la misma manera, cualquiera que sea
el problema económico al que podamos dirigirnos. La obra
de Ricardo Cantillon es la primera en que la consciencia de esta
última verdad es claramente discernible, aunque les llevó
a los economistas más de un siglo efectivizar todas sus posibilidades
- León Walras fue de hecho el primero en hacerlo" (Schumpeter,
1954, pág. 16).
Fue sin embargo
Joan Robinson quien proporcionó la descripción
más breve de esta ventaja de una teoría formalizada,
al afirmar que "Teoría económica es una caja
de herramientas" (Schumpeter, 1954, pág. 15).
1. El
Método Matemático
2. Resumen
del desarrollo histórico de economía matemática
3. Teoría
del equilibrio general
4. Cómputo
del equilibrio económico
5. Referencias
bibliográficas
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